Quantenkomplexität wächst linear für exponentiell lange Zeiten

Wer sich mit Physik beschäftigt, weiß: Zwischen Quantenphysik und Gravitationstheorie klafft ein ziemlicher Graben. Allerdings hat die theoretische Physik in den letzten Jahrzehnten mit Hilfe einer plausiblen Vermutung eine „Brücke“ konstruiert, um diesen Graben zu überwinden. Das hilft dabei, das Verhalten von komplexen Quanten-Vielkörpersystemen zu beschreiben, zum Beispiel von Schwarzen Löcher und Wurmlöchern im Universum. Nun hat eine Theoriegruppe an der Freien Universität Berlin und am HZB zusammen mit Teams aus Harvard-University, USA, eine mathematische Vermutung über das Verhalten von Komplexität in solchen Systemen bewiesen, und damit die Tragfähigkeit dieser Brücke erhöht. Die Arbeit ist in Nature Physics erschienen.

„Wir haben eine überraschend einfache Lösung für ein wichtiges Problem in der Physik gefunden“, sagt Prof. Jens Eisert, theoretischer Physiker an der Freien Universität Berlin und am HZB. Nur mit Stift und Papier, also rein analytisch, ist es den Berliner Physikern Jonas Haferkamp, Philippe Faist, Naga Kothakonda und Jens Eisert zusammen mit Nicole Yunger Halpern (Harvard, inzw. Maryland) gelungen, eine Vermutung zu beweisen, die große Auswirkungen auf komplexe Quanten-Vielkörpersysteme besitzt. „Das spielt zum Beispiel eine Rolle, wenn man das Volumen von Schwarzen Löchern oder auch Wurmlöchern beschreiben will“, erklärt Jonas Haferkamp, der bei Eisert promoviert und Erstautor der Arbeit ist.

Komplexe Quanten-Vielkörpersysteme lassen sich durch Schaltungen aus Quanten-Bits nachbauen. Die Frage ist jedoch: Wie viele elementare Operationen sind nötig, um den gewünschten Zustand zu präparieren? Oberflächlich scheint es so auszusehen, dass diese minimale Anzahl an Operationen - die Komplexität des Systems - stets am Wachsen ist. Die Physiker Adam Brown und Leonard Susskind von der Stanford Universität formulierten diese Intuition als eine mathematische Vermutung: Die Quantenkomplexität eines Vielteilchensystems sollte zunächst linear wachsen für astronomisch lange Zeiten und dann - noch länger - in einem Zustand maximaler Komplexität verharren. Motiviert wurde ihre Vermutung durch das Verhalten von  Wurmlöchern in Gravitationstheorien, deren Volumen scheinbar ewig lange linear anwächst. Tatsächlich wird weiter vermutet, dass Komplexität und das Volumen von Wurmlöchern ein und dieselbe Größe aus zwei verschiedenen Blickwinkeln sind. „Diese Redundanz in der Beschreibung wird auch holographisches Prinzip genannt und ist ein wichtiger Ansatz zur Vereinigung von Quantentheorie und Gravitation. In einem gewissen Sinne kann Brown und Susskinds Vermutung zum Wachstum von Komplexität also als Plausibilitätscheck für Ideen rund um das holographische Prinzip betrachtet werden“, erklärt Haferkamp.

Die Gruppe hat nun gezeigt, dass die Quantenkomplexität von Zufallsschaltungen tatsächlich mit der Zeit linear ansteigt, bis sie zu einem Zeitpunkt gesättigt ist, der exponentiell zur Systemgröße ist. Solche Zufallsschaltungen sind ein mächtiges Modell für die Dynamik von Vielteilchensystemen. Die Schwierigkeit der Vermutung kommt daher, dass man kaum ausschließen kann, dass es „Abkürzungen gibt“, also Schaltkreise mit viel geringerer Komplexität als erwartet. „Unser Beweis ist eine überraschende Kombination aus geometrischen Methoden und solchen aus der Quanteninformationstheorie. Dieser neue Zugang macht es möglich, die Vermutung für die überwältigende Mehrheit von Systemen zu lösen ohne das notorisch schwierige Problem für individuelle Zustände angehen zu müssen“, sagt Haferkamp.

„Unsere Ergebnisse bieten eine solide Grundlage für das Verständnis der physikalischen Eigenschaften chaotischer Quantensysteme, von schwarzen Löchern bis hin zu komplexen Vielteilchensystemen“, fügt Eisert an. Jonas Haferkamp hat seine Promotion damit nun bald abgeschlossen. „Die Arbeit in Nature Physics ist ein schöner Höhepunkt meiner Doktorarbeit “, sagt der junge Physiker, der Ende des Jahres eine Position an der Harvard Universität antritt. Als Postdoc kann er dort seine Forschungen fortsetzen, am liebsten ganz klassisch mit Stift und Papier und im Austausch mit den besten Köpfen in der theoretischen Physik.